Математический анализ Примеры

$s (x) = 5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- 1.5 x}$ и $g (x) = \cos (2 π x)$ .

$5 (e^{- 1.5 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 π x)] + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 π x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 π x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (2 π x) \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2 π$ является константой относительно $x$ , производная $2 π x$ по $x$ равна $2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (2 π x) (2 π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) (π \cdot 1)) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Этап 4.4

Умножим $π$ на $1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 1.5 x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 1.5 x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 1.5 x$ по $x$ равна $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} (- 1.5 \cdot 1)))$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1.5$ на $1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} \cdot - 1.5))$

Этап 6.3.2

Перенесем $- 1.5$ влево от $e^{- 1.5 x}$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (- 1.5 \cdot e^{- 1.5 x}))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π)) + 5 (\cos (2 π x) (- 1.5 e^{- 1.5 x}))$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$- 10 (e^{- 1.5 x} (\sin (2 π x) π)) + 5 (\cos (2 π x) (- 1.5 e^{- 1.5 x}))$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1.5$ на $5$ .

$- 10 e^{- 1.5 x} (\sin (2 π x) π) - 7.5 \cos (2 π x) e^{- 1.5 x}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$- 10 π e^{- 1.5 x} \sin (2 π x) - 7.5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$