Математический анализ Примеры

$S (t) = \frac{50 t^{2}}{t^{2} + 150}$

Этап 1

Поскольку $50$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{50 t^{2}}{t^{2} + 150}$ по $t$ равна $50 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$ .

$50 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = t^{2} + 150$ .

$50 \frac{(t^{2} + 150) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$50 \frac{(t^{2} + 150) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $t^{2} + 150$ .

$50 \frac{2 \cdot (t^{2} + 150) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $t^{2} + 150$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150]$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $150$ является константой относительно $t$ , производная $150$ относительно $t$ равна $0$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 6

Добавим $1$ и $2$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 7

Объединим $50$ и $\frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$ .

$\frac{50 (2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{50 ((2 t^{2} + 2 \cdot 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{50 (2 t^{2} t + 2 \cdot 150 t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{50 (2 t^{2} t) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{50 (2 (t \cdot t^{2})) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.1.1.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{50 (2 (t^{1} t^{2})) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{50 (2 t^{1 + 2}) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{50 (2 t^{3}) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.1.2

Умножим $2$ на $50$ .

$\frac{100 t^{3} + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.1.3

Умножим $2$ на $150$ .

$\frac{100 t^{3} + 50 (300 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.1.4

Умножим $300$ на $50$ .

$\frac{100 t^{3} + 15000 t + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $50$ .

$\frac{100 t^{3} + 15000 t - 100 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.2

Объединим противоположные члены в $100 t^{3} + 15000 t - 100 t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Вычтем $100 t^{3}$ из $100 t^{3}$ .

$\frac{15000 t + 0}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Этап 8.4.2.2

Добавим $15000 t$ и $0$ .

$\frac{15000 t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$