Математический анализ Примеры

$R (x) = 2000 {(1 - \frac{x}{600})}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(1 - \frac{x}{600})}^{2}$ в виде $(1 - \frac{x}{600}) (1 - \frac{x}{600})$ .

$\frac{d}{d x} [2000 ((1 - \frac{x}{600}) (1 - \frac{x}{600}))]$

Этап 2

Развернем $(1 - \frac{x}{600}) (1 - \frac{x}{600})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 (1 - \frac{x}{600}) - \frac{x}{600} (1 - \frac{x}{600}))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{600}) - \frac{x}{600} (1 - \frac{x}{600}))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{600}) - \frac{x}{600} \cdot 1 - \frac{x}{600} (- \frac{x}{600}))]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 + 1 (- \frac{x}{600}) - \frac{x}{600} \cdot 1 - \frac{x}{600} (- \frac{x}{600}))]$

Этап 3.1.2

Умножим $- \frac{x}{600}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} \cdot 1 - \frac{x}{600} (- \frac{x}{600}))]$

Этап 3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} (- \frac{x}{600}))]$

Этап 3.1.4

Умножим $- \frac{x}{600} (- \frac{x}{600})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + 1 \frac{x}{600} \frac{x}{600})]$

Этап 3.1.4.2

Умножим $\frac{x}{600}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x}{600} \cdot \frac{x}{600})]$

Этап 3.1.4.3

Умножим $\frac{x}{600}$ на $\frac{x}{600}$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x \cdot x}{600 \cdot 600})]$

Этап 3.1.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{1} x}{600 \cdot 600})]$

Этап 3.1.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{1} x^{1}}{600 \cdot 600})]$

Этап 3.1.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{1 + 1}}{600 \cdot 600})]$

Этап 3.1.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{2}}{600 \cdot 600})]$

Этап 3.1.4.8

Умножим $600$ на $600$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{600} - \frac{x}{600} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Этап 3.2

Вычтем $\frac{x}{600}$ из $- \frac{x}{600}$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - 2 \frac{x}{600} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{600} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $600$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 300} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 300} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Этап 4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - 1 \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 \frac{x}{300}$ в виде $- \frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [2000 (1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000})]$

Этап 5

Поскольку $2000$ является константой относительно $x$ , производная $2000 (1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000})$ по $x$ равна $2000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000}]$ .

$2000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000}]$

Этап 6

По правилу суммы производная $1 - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{360000}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}]$ .

$2000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Этап 7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Этап 8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}]$ .

$2000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{300}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Этап 9

Поскольку $- \frac{1}{300}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{300}$ по $x$ равна $- \frac{1}{300} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 (- \frac{1}{300} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2000 (- \frac{1}{300} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Этап 11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{360000}])$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{360000}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{360000}$ по $x$ равна $\frac{1}{360000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{1}{360000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{1}{360000} (2 x))$

Этап 14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{360000}$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2}{360000} x)$

Этап 14.2

Объединим $\frac{2}{360000}$ и $x$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2 x}{360000})$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $2$ и $360000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2 (x)}{360000})$

Этап 14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $360000$ .

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2 x}{2 \cdot 180000})$

Этап 14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{2 x}{2 \cdot 180000})$

Этап 14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2000 (- \frac{1}{300} + \frac{x}{180000})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2000 (- \frac{1}{300}) + 2000 \frac{x}{180000}$

Этап 15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $- 1$ на $2000$ .

$- 2000 (\frac{1}{300}) + 2000 \frac{x}{180000}$

Этап 15.2.2

Объединим $- 2000$ и $\frac{1}{300}$ .

$\frac{- 2000}{300} + 2000 \frac{x}{180000}$

Этап 15.2.3

Сократим общий множитель $- 2000$ и $300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Вынесем множитель $100$ из $- 2000$ .

$\frac{100 (- 20)}{300} + 2000 \frac{x}{180000}$

Этап 15.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.2.1

Вынесем множитель $100$ из $300$ .

$\frac{100 \cdot - 20}{100 \cdot 3} + 2000 \frac{x}{180000}$

Этап 15.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{100 \cdot - 20}{100 \cdot 3} + 2000 \frac{x}{180000}$

Этап 15.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 20}{3} + 2000 \frac{x}{180000}$

Этап 15.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20}{3} + 2000 \frac{x}{180000}$

Этап 15.2.5

Объединим $2000$ и $\frac{x}{180000}$ .

$- \frac{20}{3} + \frac{2000 x}{180000}$

Этап 15.2.6

Сократим общий множитель $2000$ и $180000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1

Вынесем множитель $2000$ из $2000 x$ .

$- \frac{20}{3} + \frac{2000 (x)}{180000}$

Этап 15.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.2.1

Вынесем множитель $2000$ из $180000$ .

$- \frac{20}{3} + \frac{2000 x}{2000 \cdot 90}$

Этап 15.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{20}{3} + \frac{2000 x}{2000 \cdot 90}$

Этап 15.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{20}{3} + \frac{x}{90}$

Этап 15.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x}{90} - \frac{20}{3}$