Математический анализ Примеры

$h (y) = {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ имеет вид $f' (g (b)) g' (b)$ , где $f (b) = b^{3}$ и $g (b) = \frac{b}{a + y^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{a + y^{4}}$ является константой относительно $b$ , производная $\frac{b}{a + y^{4}}$ по $b$ равна $\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b]$ .

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} (\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b])$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{a + y^{4}}$ и $3$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [b]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ имеет вид $n b^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $\frac{3}{a + y^{4}}$ на $1$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} \cdot \frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{3}{a + y^{4}}$ на $\frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$ .

$\frac{3 b^{2}}{(a + y^{4}) {(a + y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $a + y^{4}$ на ${(a + y^{4})}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $a + y^{4}$ на ${(a + y^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Возведем $a + y^{4}$ в степень $1$ .

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1} {(a + y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1 + 2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{3}}$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3 b^{2}}{{(y^{4} + a)}^{3}}$