Математический анализ Примеры

$h (x) = \ln (2 x^{2} + 18)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x^{2} + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + \frac{d}{d x} [18])$

Этап 2.5

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + 0)$

Этап 2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x)$

Этап 2.6.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2 x^{2} + 18}$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + 18} x$

Этап 2.6.3

Объединим $\frac{4}{2 x^{2} + 18}$ и $x$ .

$\frac{4 x}{2 x^{2} + 18}$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель $4$ и $2 x^{2} + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 18}$

Этап 2.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2}) + 18}$

Этап 2.6.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 2 \cdot 9}$

Этап 2.6.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Этап 2.6.4.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Этап 2.6.4.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x}{x^{2} + 9}$