Математический анализ Примеры

$q (r) = \frac{3 r}{5 r + 2}$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{3 r}{5 r + 2}$ по $r$ равна $3 \frac{d}{d r} [\frac{r}{5 r + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d r} [\frac{r}{5 r + 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ имеет вид $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , где $f (r) = r$ и $g (r) = 5 r + 2$ .

$3 \frac{(5 r + 2) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{(5 r + 2) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $5 r + 2$ на $1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r \frac{d}{d r} [5 r + 2]}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $5 r + 2$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [5 r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (\frac{d}{d r} [5 r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $r$ , производная $5 r$ по $r$ равна $5 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 + \frac{d}{d r} [2])}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $r$ , производная $2$ относительно $r$ равна $0$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r (5 + 0)}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $5$ и $0$ .

$3 \frac{5 r + 2 - r \cdot 5}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$3 \frac{5 r + 2 - 5 r}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.8.3

Вычтем $5 r$ из $5 r$ .

$3 \frac{0 + 2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.8.4

Добавим $0$ и $2$ .

$3 \frac{2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.8.5

Объединим $3$ и $\frac{2}{{(5 r + 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{{(5 r + 2)}^{2}}$

Этап 3.8.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{{(5 r + 2)}^{2}}$