Математический анализ Примеры

$g (y) = \frac{y - 2}{y^{2} - 2 y + 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = y - 2$ и $g (y) = y^{2} - 2 y + 4$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) \frac{d}{d y} [y - 2] - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y - 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (1 + 0) - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) \cdot 1 - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $y^{2} - 2 y + 4$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $y^{2} - 2 y + 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 2.11

Добавим $2 y - 2$ и $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - (y - 2) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 + (- y - - 2) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 + (- y + 2) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(- y + 2) (2 y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - y (2 y - 2) + 2 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 2 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 2 y + 2 (2 y) + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 2 y + 4 y + 2 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.6

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 2 y + 4 y - 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $2 y$ и $4 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 6 y - 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $y^{2} - 2 y + 4 - 2 y^{2} + 6 y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 6 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 6 y$ и $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $2 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 6 y}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Добавим $- 2 y$ и $6 y$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 4 y}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- y) + y \cdot 4$ .

$\frac{y (- y + 4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.5

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 4))}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 4)$ .

$\frac{y (- (y - 4))}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $- (y - 4)$ в виде $- 1 (y - 4)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 4))}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y (y - 4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$