Математический анализ Примеры

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{x} + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ .

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

Этап 5.2

Умножим $e^{x} + \frac{1}{x}$ на $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Этап 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Этап 5.3.2

Объединим.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Этап 5.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $x$ из $x e^{x} + x \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (x)$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$