Математический анализ Примеры

$g (t) = \frac{e^{2 t}}{1 + e^{2 t}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = e^{2 t}$ и $g (t) = 1 + e^{2 t}$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) \frac{d}{d t} [e^{2 t}] - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 t$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 t$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} (2 \cdot 1) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(1 + e^{2 t}) e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $(1 + e^{2 t}) e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{2 t}) e^{2 t}) - e^{2 t} \frac{d}{d t} [1 + e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $1 + e^{2 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{2 t}])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} \frac{d}{d t} [e^{2 t}]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{2 t + 2 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 6

Добавим $2 t$ и $2 t$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} \frac{d}{d t} [2 t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 7

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - e^{4 t} (2 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t} \cdot 1}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 t}) e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t} e^{2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 11.3.1.2

Умножим $e^{2 t}$ на $e^{2 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.2.1

Перенесем $e^{2 t}$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 (e^{2 t} e^{2 t}) - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 11.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{2 t + 2 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 11.3.1.2.3

Добавим $2 t$ и $2 t$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 11.3.2

Объединим противоположные члены в $2 e^{2 t} + 2 e^{4 t} - 2 e^{4 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вычтем $2 e^{4 t}$ из $2 e^{4 t}$ .

$\frac{2 e^{2 t} + 0}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$

Этап 11.3.2.2

Добавим $2 e^{2 t}$ и $0$ .

$\frac{2 e^{2 t}}{{(1 + e^{2 t})}^{2}}$