Математический анализ Примеры

$g (x) = (x^{4} - 16) (x^{2} - 4)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4} - 16$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{4} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{4} - 16) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x^{4} - 16) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{4} - 16$ .

$2 \cdot (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 2.7

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + 0)$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3})$

Этап 2.8.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2} - 4$ .

$2 (x^{4} - 16) x + 4 \cdot (x^{2} - 4) x^{3}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{4} + 2 \cdot - 16) x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + (4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x^{3}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Этап 3.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Этап 3.5.3

Добавим $1$ и $4$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Этап 3.5.4

Умножим $2$ на $- 16$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Этап 3.5.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Этап 3.5.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Этап 3.5.5.3

Добавим $3$ и $2$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Этап 3.5.6

Умножим $4$ на $- 4$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3}$

Этап 3.5.7

Добавим $2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 32 x - 16 x^{3}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$6 x^{5} - 16 x^{3} - 32 x$