Математический анализ Примеры

$f (x) = x + e^{- 4 x}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x + e^{- 4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Этап 2.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Этап 2.5

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$