Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ в $t$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $t^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Этап 4.2.2

Перенесем $t^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 4.2.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Этап 5.1.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{t^{2}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Этап 5.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем предел $\frac{1}{2}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

Этап 5.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Этап 5.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$