Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) \cot (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- \csc^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в числитель.

$\frac{- 1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.3.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

Этап 4.2.7

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2.8

Умножим $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2.8.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2.8.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.2.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Этап 4.2.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 4.7

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 4.8

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.9

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Этап 4.9.2.4

Разделим $- \sin (x)$ на $1$ .

$- \sin (x)$