Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{3}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x^{2}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

Этап 1.2.4.3

Умножим $36$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12$ из $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12$ из $36$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ на $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 8 x + 3$ на $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 8$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $36$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.3

Вычтем $36$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.3

Вычтем $36$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2.21525043$ в $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.21525043$ .

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $2.21525043$ в степень $4$ .

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $3$ на $24.08193188$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $2.21525043$ в степень $3$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 16$ на $10.87097489$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Возведем $2.21525043$ в степень $2$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $18$ на $4.90733449$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Вычтем $173.93559828$ из $72.24579564$ .

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $- 101.68980263$ и $88.33202097$ .

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $- 13.35778166$ .

$- 13.35778166$

Этап 3.2

Подставляя $2.21525043$ в $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ , найдем точку $(2.21525043, - 13.35778166)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2.21525043, - 13.35778166)$

Этап 3.3

Подставим $0.45141622$ в $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.45141622$ .

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $0.45141622$ в степень $4$ .

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $3$ на $0.0415249$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $0.45141622$ в степень $3$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $- 16$ на $0.09198807$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $0.45141622$ в степень $2$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

Этап 3.3.2.1.6

Умножим $18$ на $0.20377661$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

Этап 3.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $1.47180912$ из $0.12457472$ .

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $- 1.34723439$ и $3.66797902$ .

$f (0.45141622) = 2.32074462$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $2.32074462$ .

$2.32074462$

Этап 3.4

Подставляя $0.45141622$ в $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ , найдем точку $(0.45141622, 2.32074462)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.45141622, 2.32074462)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0.45141622)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $0.35141622$ в степень $2$ .

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Этап 5.2.1.2

Умножим $36$ на $0.12349336$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 96$ на $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $33.73595804$ из $4.44576119$ .

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 29.29019685$ и $36$ .

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $6.70980314$ .

$6.70980314$

Этап 5.3

При $0.35141622$ вторая производная имеет вид $6.70980314$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0.45141622)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0.45141622)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0.45141622, 2.21525043)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $1.\overline{3}$ в степень $2$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Этап 6.2.1.2

Умножим $36$ на $1.\overline{7}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 96$ на $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $128$ из $64$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 64$ и $36$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 28$ .

$- 28$

Этап 6.3

При $1.\overline{3}$ вторая производная имеет вид $- 28$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0.45141622, 2.21525043)$ .

Убывание на $(0.45141622, 2.21525043)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2.21525043, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2.31525043$ в степень $2$ .

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Этап 7.2.1.2

Умножим $36$ на $5.36038458$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 96$ на $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $222.26404195$ из $192.9738451$ .

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 29.29019685$ и $36$ .

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $6.70980314$ .

$6.70980314$

Этап 7.3

При $2.31525043$ вторая производная имеет вид $6.70980314$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2.21525043, \infty)$ .

Возрастание в области $(2.21525043, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

Этап 9