Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (12 - 9 x^{2} + 2 x^{4})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.2

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 2 (4 x^{3}))$

Этап 2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 8 x^{3})$

Этап 2.9.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 8 x^{3})$ .

$(- 18 x + 8 x^{3}) \frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}}$