Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sqrt{2 a x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 a x}$ в виде ${(2 a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 a x$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{{(2 (a x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2.2

Применим правило умножения к $2 (a x)$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.3

Поскольку $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ является константой относительно $a$ , производная $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ по $a$ равна $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем $\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.4.2

Перемножим экспоненты в ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.4.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [{(a x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ имеет вид $f' (g (a)) g' (a)$ , где $f (a) = a^{- \frac{1}{2}}$ и $g (a) = a x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a x$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $a x$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 8

Объединим ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{{(a x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 9

Перенесем ${(a x)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 10

Умножим $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} (2 {(a x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d a} [a x]$

Этап 11

Умножим $2^{\frac{1}{2}}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $2$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Этап 11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2^{1 + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Этап 11.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Этап 11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 + 1}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Этап 11.5

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a x]$

Этап 12

Поскольку $x$ является константой относительно $a$ , производная $a x$ по $a$ равна $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} (x \frac{d}{d a} [a])$

Этап 13

Объединим $x$ и $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d a} [a]$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Этап 15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} {(a x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим правило умножения к $a x$ .

$- \frac{x}{2^{\frac{3}{2}} (a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Перенесем $x^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

Этап 16.2.2

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Перенесем $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 16.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Этап 16.2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Этап 16.2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Этап 16.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Этап 16.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Этап 16.2.2.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$