Математический анализ Примеры

$\log_{b} (18)$

Этап 1

Перепишем $\log_{b} (18)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d b} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Этап 1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = e$ .

$\frac{d}{d b} [\frac{\ln (18)}{\ln (b)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\ln (18)$ является константой относительно $b$ , производная $\frac{\ln (18)}{\ln (b)}$ по $b$ равна $\ln (18) \frac{d}{d b} [\frac{1}{\ln (b)}]$ .

$\ln (18) \frac{d}{d b} [\frac{1}{\ln (b)}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{\ln (b)}$ в виде $\ln^{- 1} (b)$ .

$\ln (18) \frac{d}{d b} [\ln^{- 1} (b)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ имеет вид $f' (g (b)) g' (b)$ , где $f (b) = b^{- 1}$ и $g (b) = \ln (b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (b)$ .

$\ln (18) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\ln (18) (- u^{- 2} \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (b)$ .

$\ln (18) (- \ln^{- 2} (b) \frac{d}{d b} [\ln (b)])$

Этап 4

Производная $\ln (b)$ по $b$ равна $\frac{1}{b}$ .

$\ln (18) (- \ln^{- 2} (b) \frac{1}{b})$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{b}$ и $\ln^{- 2} (b)$ .

$\ln (18) (- \frac{\ln^{- 2} (b)}{b})$

Этап 5.2

Перенесем $\ln^{- 2} (b)$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (18) (- \frac{1}{b \ln^{2} (b)})$

Этап 5.3

Объединим $\ln (18)$ и $\frac{1}{b \ln^{2} (b)}$ .

$- \frac{\ln (18)}{b \ln^{2} (b)}$