Математический анализ Примеры

$x e^{a x}$

Этап 1

Поскольку $x$ является константой относительно $a$ , производная $x e^{a x}$ по $a$ равна $x \frac{d}{d a} [e^{a x}]$ .

$x \frac{d}{d a} [e^{a x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ имеет вид $f' (g (a)) g' (a)$ , где $f (a) = e^{a}$ и $g (a) = a x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $a x$ .

$x (e^{a x} \frac{d}{d a} [a x])$

Этап 3

Поскольку $x$ является константой относительно $a$ , производная $a x$ по $a$ равна $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$x (e^{a x} (x \frac{d}{d a} [a]))$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 1} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} (e^{a x} (\frac{d}{d a} [a]))$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (e^{a x} \cdot 1)$

Этап 9

Умножим $e^{a x}$ на $1$ .

$x^{2} e^{a x}$