Математический анализ Примеры

$x^{2} - x - \ln (x)$

Этап 1

Запишем $x^{2} - x - \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{1}{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $2 + \frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 5.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Этап 5.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1, 1$

Этап 6.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 6.3

Каждый член в $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ на $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Этап 6.3.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Этап 6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Этап 6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 6.4.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Этап 6.4.1.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Этап 6.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Этап 6.4.1.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Этап 6.4.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Этап 6.4.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Этап 6.4.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 6.4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 6.4.3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 6.4.3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 6.4.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 6.4.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.4.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6.4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 2$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1} + 2$

Этап 10.1.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1 + 2$

Этап 10.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3$

Этап 11

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - (1) - \ln (1)$

Этап 12.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 1 - \ln (1)$

Этап 12.2.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = 1 - 1 - 0$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (1) = 1 - 1 + 0$

Этап 12.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = 0 + 0$

Этап 12.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

$(1, 0)$ — локальный минимум

Этап 14