Математический анализ Примеры

$(- 3 k) {(\frac{- 2 k^{- 5}}{k^{3}})}^{- 4}$

Этап 1

Перенесем $k^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3} k^{5}})}^{- 4}]$

Этап 2

Умножим $k^{3}$ на $k^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3 + 5}})}^{- 4}]$

Этап 2.2

Добавим $3$ и $5$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Этап 3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- \frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Этап 4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{2}{k^{8}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- (\frac{2}{k^{8}}))}^{- 4}]$

Этап 5

Применим правило умножения к $- (\frac{2}{k^{8}})$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k ({(- 1)}^{- 4} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Этап 6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{{(- 1)}^{4}} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Этап 7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (1 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Этап 7.2.2

Умножим ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ на $1$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Этап 7.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $k$ , производная $- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ по $k$ равна $- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ имеет вид $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ , где $f (k) = k$ и $g (k) = {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ .

$- 3 (k \frac{d}{d k} [{(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}] + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 9

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ имеет вид $f' (g (k)) g' (k)$ , где $f (k) = k^{- 4}$ и $g (k) = \frac{2}{k^{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2}{k^{8}}$ .

$- 3 (k (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- 3 (k (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2}{k^{8}}$ .

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку $2$ является константой относительно $k$ , производная $\frac{2}{k^{8}}$ по $k$ равна $2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]$ .

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}])) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 10.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 10.2.2

Перепишем $\frac{1}{k^{8}}$ в виде ${(k^{8})}^{- 1}$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [{(k^{8})}^{- 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 10.2.3

Перемножим экспоненты в ${(k^{8})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{8 \cdot - 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 10.2.3.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{- 8}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 10.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = - 8$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (- 8 k^{- 9})) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 10.4

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$- 3 (k (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} k^{- 9}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 11

Возведем $k$ в степень $1$ .

$- 3 (k^{- 9} k^{1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 (k^{- 9 + 1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 13

Добавим $- 9$ и $1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \cdot 1)$

Этап 15

Умножим ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ на $1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Этап 16.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Этап 16.3

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

Этап 16.4

Применим правило умножения к $\frac{k^{8}}{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

Этап 16.5

Применим правило умножения к $\frac{k^{8}}{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}})$

Этап 16.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1

Перемножим экспоненты в ${(k^{8})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{8 \cdot 5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.1.2

Умножим $8$ на $5$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{32})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.3

Объединим $64$ и $\frac{k^{40}}{32}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{64 k^{40}}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.4

Сократим общий множитель $64$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.4.1

Вынесем множитель $32$ из $64 k^{40}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.4.2.1

Вынесем множитель $32$ из $32$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 (1)}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 \cdot 1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{2 k^{40}}{1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.4.2.4

Разделим $2 k^{40}$ на $1$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (2 k^{40})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{k^{8}}$ .

$- 3 (\frac{2}{k^{8}} k^{40}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.6

Объединим $\frac{2}{k^{8}}$ и $k^{40}$ .

$- 3 \frac{2 k^{40}}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.7

Сократим общий множитель $k^{40}$ и $k^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.7.1

Вынесем множитель $k^{8}$ из $2 k^{40}$ .

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.7.2.1

Умножим на $1$ .

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 \frac{2 k^{32}}{1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.7.2.4

Разделим $2 k^{32}$ на $1$ .

$- 3 (2 k^{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.8

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.9

Перемножим экспоненты в ${(k^{8})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.7.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{8 \cdot 4}}{2^{4}}$

Этап 16.7.9.2

Умножим $8$ на $4$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{2^{4}}$

Этап 16.7.10

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{16}$

Этап 16.7.11

Объединим $- 3$ и $\frac{k^{32}}{16}$ .

$- 6 k^{32} + \frac{- 3 k^{32}}{16}$

Этап 16.7.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 6 k^{32} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Этап 16.7.13

Чтобы записать $- 6 k^{32}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$- 6 k^{32} \cdot \frac{16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Этап 16.7.14

Объединим $- 6 k^{32}$ и $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Этап 16.7.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16 - 3 k^{32}}{16}$

Этап 16.7.16

Умножим $16$ на $- 6$ .

$\frac{- 96 k^{32} - 3 k^{32}}{16}$

Этап 16.7.17

Вычтем $3 k^{32}$ из $- 96 k^{32}$ .

$\frac{- 99 k^{32}}{16}$

Этап 16.7.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{99 k^{32}}{16}$