Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt[3]{8 + h} - 2}{h}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{8 + h}$ в виде ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d h} [\frac{{(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2}{h}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ имеет вид $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ , где $f (h) = {(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ и $g (h) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2] - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 3

По правилу суммы производная ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ и $g (h) = 8 + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 + h$ .

$\frac{h (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 + h$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 8.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{h (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 9.3

Перенесем ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 10

По правилу суммы производная $8 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 11

Поскольку $8$ является константой относительно $h$ , производная $8$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 12

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 14

Умножим $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 15

Поскольку $- 2$ является константой относительно $h$ , производная $- 2$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Добавим $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$\frac{h \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 16.2

Объединим $h$ и $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 17

Умножим $\frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$ на $\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Этап 18

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Объединим.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 18.3

Сократим общий множитель $3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 18.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 18.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \cdot 1)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 20

Умножим ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ на $1$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} {(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.2

Умножим ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.2.1

Перенесем ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{h - 3 ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{3}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.2.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{1} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.3

Упростим $- 3 {(8 + h)}^{1}$ .

$\frac{h - 3 (8 + h) - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.4

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{h - 3 (8 + h) + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h - 3 \cdot 8 - 3 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.5.2

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{h - 24 - 3 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.6

Вычтем $3 h$ из $h$ .

$\frac{- 2 h - 24 + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.7

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.8

Вынесем множитель $2$ из $- 2 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 h$ .

$\frac{2 (- h) + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.8.3

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$\frac{2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.8.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.1.8.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)$ .

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Этап 21.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- h$ .

$\frac{2 (- (h) + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.4

Вынесем множитель $- 1$ из $3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (- (h) - (- 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (h) - (- 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.6

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 1 (12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.8

Перепишем $- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)$ в виде $- 1 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)$ .

$\frac{2 (- 1 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$