Математический анализ Примеры

${(\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ имеет вид $f' (g (n)) g' (n)$ , где $f (n) = n^{2}$ и $g (n) = \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$2 \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $2$ и $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $n$ , производная $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ по $n$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$ .

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}])$

Этап 2.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{n (n + 1)}{n^{4}}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ имеет вид $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ , где $f (n) = n (n + 1)$ и $g (n) = n^{4}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{{(n^{4})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перемножим экспоненты в ${(n^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{4 \cdot 2}}$

Этап 4.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{8}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) (4 n^{3})}{n^{8}}$

Этап 4.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $n^{3}$ из $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $n^{3}$ из $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)]$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Этап 4.3.2.2

Вынесем множитель $n^{3}$ из $- 4 n (n + 1) n^{3}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Этап 4.3.2.3

Вынесем множитель $n^{3}$ из $n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $n^{3}$ из $n^{8}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ на $\frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{4} n^{5}}$

Этап 6.2

Умножим $n^{4}$ на $n^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $n^{5}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 (n^{5} n^{4})}$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{5 + 4}}$

Этап 6.2.3

Добавим $5$ и $4$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{9}}$