Математический анализ Примеры

$- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$

Этап 1

По правилу суммы производная $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ .

$\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{3}{4}$ является константой относительно $p$ , производная $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})$ по $p$ равна $- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ имеет вид $f' (g (p)) g' (p)$ , где $f (p) = \log_{3} (p)$ и $g (p) = 16 p^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $16 p^{4}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.2.2

Производная $\log_{3} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $16 p^{4}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.3

Поскольку $16$ является константой относительно $p$ , производная $16 p^{4}$ по $p$ равна $16 \frac{d}{d p} [p^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 \frac{d}{d p} [p^{4}])) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 (4 p^{3}))) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $16$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (64 p^{3})) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.6

Объединим $64$ и $\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)} p^{3}) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.7

Объединим $\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)}$ и $p^{3}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{64 p^{3}}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $64$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $16$ из $64 p^{3}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16 p^{4} \ln (3)$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4 p^{3}}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $p^{3}$ и $p^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $p^{3}$ из $4 p^{3}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Вынесем множитель $p^{3}$ из $p^{4} \ln (3)$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.10

Умножим $\frac{4}{p \ln (3)}$ на $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.11

Умножим $4$ на $3$ .

$- \frac{12}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.12

Перенесем $4$ влево от $p \ln (3)$ .

$- \frac{12}{4 \cdot (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.13

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{4 p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 p \ln (3)$ .

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{2}{3}$ является константой относительно $p$ , производная $- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ по $p$ равна $- \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $8 p^{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\log_{3} (u_{2})] \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Этап 3.2.2

Производная $\log_{3} (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{u_{2} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $8 p^{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

Этап 3.3

Поскольку $8$ является константой относительно $p$ , производная $8 p^{3}$ по $p$ равна $8 \frac{d}{d p} [p^{3}]$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 \frac{d}{d p} [p^{3}]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 (3 p^{2})))$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $8$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (24 p^{2}))$

Этап 3.6

Объединим $24$ и $\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)} p^{2})$

Этап 3.7

Объединим $\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)}$ и $p^{2}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{24 p^{2}}{8 p^{3} \ln (3)}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $24$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем множитель $8$ из $24 p^{2}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 p^{3} \ln (3)}$

Этап 3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 p^{3} \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

Этап 3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

Этап 3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 p^{2}}{p^{3} \ln (3)}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $p^{2}$ и $p^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $p^{2}$ из $3 p^{2}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{3} \ln (3)}$

Этап 3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель $p^{2}$ из $p^{3} \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

Этап 3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

Этап 3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{p \ln (3)}$

Этап 3.10

Умножим $\frac{3}{p \ln (3)}$ на $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{p \ln (3) \cdot 3}$

Этап 3.11

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{p \ln (3) \cdot 3}$

Этап 3.12

Перенесем $3$ влево от $p \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{3 \cdot (p \ln (3))}$

Этап 3.13

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 p \ln (3)}$

Этап 3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 p \ln (3)$ .

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

Этап 3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

Этап 3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{p \ln (3)}$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 - 2}{p \ln (3)}$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$\frac{- 5}{p \ln (3)}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{p \ln (3)}$