Математический анализ Примеры

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

Этап 1

Поскольку $r$ является константой относительно $n$ , производная $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ по $n$ равна $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ .

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ имеет вид $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ , где $f (n) = n$ и $g (n) = 1 + (n - 1) r$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид $n \cdot n^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $1 + (n - 1) r$ на $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $1 + (n - 1) r$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $n$ , производная $1$ относительно $n$ равна $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.6

Поскольку $r$ является константой относительно $n$ , производная $(n - 1) r$ по $n$ равна $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $n - 1$ по $n$ имеет вид $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.8

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $n$ , производная $- 1$ относительно $n$ равна $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 3.10.3

Объединим $r$ и $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ .

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим противоположные члены в $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Изменим порядок множителей в членах $r (n r)$ и $r (- n r)$ .

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Вычтем $n r \cdot r$ из $n r \cdot r$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Добавим $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ и $0$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $r$ на $1$ .

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Этап 4.4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Этап 4.4.2.3

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Перенесем $r$ .

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Этап 4.4.2.3.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем $- 1 r$ в виде $- r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

Этап 4.6

Изменим порядок членов.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $r$ из $- r^{2} + r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $r$ из $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.7.2

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.7.3

Вынесем множитель $r$ из $r^{1}$ .

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.7.4

Вынесем множитель $r$ из $r (- r) + r \cdot 1$ .

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- r$ .

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.9

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.11

Перепишем $- (r - 1)$ в виде $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Этап 4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$