Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{6}}{x - 6}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6}}{x - 6}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{x}}{x - 6}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x \cdot 6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{x \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{x}}{x - 6}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{x \cdot 6} - \frac{x}{6 x}}{x - 6}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{6 x} - \frac{x}{6 x}}{x - 6}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6 - x}{6 x}}{x - 6}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{6 x} \cdot \frac{1}{x - 6}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{6 - x}{6 x}$ на $\frac{1}{x - 6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{6 x (x - 6)}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $6 - x$ и $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6) - x}{6 x (x - 6)}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6) - (x)}{6 x (x - 6)}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 6) - (x)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6 + x)}{6 x (x - 6)}$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (x - 6)}{6 x (x - 6)}$

Этап 2.1.3.5

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (x - 6)}{6 x (x - 6)}$

Этап 2.1.3.6

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1}{6 x}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 6} \frac{- 1}{x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 6} - 1}{lim_{x \to 6} x}$

Этап 2.4

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 6} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{6}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6 \cdot 6}$

Этап 4.2.2

Умножим $6$ на $6$ .

$- \frac{1}{36}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{36}$

Десятичная форма:

$- 0.02\overline{7}$