Математический анализ Примеры

$\frac{q \sin (q)}{q^{2} - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ имеет вид $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , где $f (q) = q \sin (q)$ и $g (q) = q^{2} - 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) \frac{d}{d q} [q \sin (q)] - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ имеет вид $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ , где $f (q) = q$ и $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \frac{d}{d q} [\sin (q)] + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3

Производная $\sin (q)$ по $q$ равна $\cos (q)$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ имеет вид $n q^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \cdot 1) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Умножим $\sin (q)$ на $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $q^{2} - 1$ по $q$ имеет вид $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1]$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ имеет вид $n q^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $q$ , производная $- 1$ относительно $q$ равна $0$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + 0)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $2 q$ и $0$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q \sin (q) q}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5

Возведем $q$ в степень $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 6

Возведем $q$ в степень $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q^{1}) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{1 + 1} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Развернем $(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{q^{2} (q \cos (q) + \sin (q)) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $q^{2}$ на $q$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.1

Перенесем $q$ .

$\frac{q \cdot q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.1.2.1.2

Умножим $q$ на $q^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.2.1

Возведем $q$ в степень $1$ .

$\frac{q^{1} q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{q^{1 + 2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.1.2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.1.2.2

Перепишем $- 1 (q \cos (q))$ в виде $- (q \cos (q))$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем $- 1 \sin (q)$ в виде $- \sin (q)$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 9.2

Вычтем $2 q^{2} \sin (q)$ из $q^{2} \sin (q)$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) - q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$