Математический анализ Примеры

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $p$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.2

Объединим $\frac{p \cdot 4}{3}$ и ${(r + h)}^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.3

Перенесем $4$ влево от $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.4

Поскольку $\frac{4 p}{3}$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ по $r$ равна $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ имеет вид $f' (g (r)) g' (r)$ , где $f (r) = r^{3}$ и $g (r) = r + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $r + h$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.8

Поскольку $h$ является константой относительно $r$ , производная $h$ относительно $r$ равна $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.11

Объединим $3$ и $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.12

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.13

Объединим $\frac{12 p}{3}$ и ${(r + h)}^{2}$ .

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.14

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель $3$ из $12 p {(r + h)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 2.14.2.4

Разделим $4 p {(r + h)}^{2}$ на $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $p$ и $\frac{4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Этап 3.2

Объединим $r^{3}$ и $\frac{p \cdot 4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

Этап 3.3

Перенесем $4$ влево от $p$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

Этап 3.4

Перенесем $4$ влево от $r^{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

Этап 3.5

Поскольку $- \frac{4 p}{3}$ является константой относительно $r$ , производная $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ по $r$ равна $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

Этап 3.8

Объединим $- 3$ и $\frac{4 p}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

Этап 3.9

Умножим $4$ на $- 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

Этап 3.10

Объединим $\frac{- 12 p}{3}$ и $r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 p r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

Этап 3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

Этап 3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

Этап 3.11.2.4

Разделим $- 4 p r^{2}$ на $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем ${(r + h)}^{2}$ в виде $(r + h) (r + h)$ .

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.2

Развернем $(r + h) (r + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Умножим $r$ на $r$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.3.2

Добавим $r h$ и $h r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Изменим порядок $r$ и $h$ .

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $h r$ и $h r$ .

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Этап 4.2.5

Умножим $2$ на $4$ .

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Этап 4.3

Объединим противоположные члены в $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Изменим порядок множителей в членах $4 p r^{2}$ и $- 4 r^{2} p$ .

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Этап 4.3.2

Вычтем $4 r^{2} p$ из $4 r^{2} p$ .

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

Этап 4.3.3

Добавим $8 p h r + 4 p h^{2}$ и $0$ .

$8 p h r + 4 p h^{2}$