Математический анализ Примеры

$\frac{Gm M}{r^{2}}$

Этап 1

Поскольку $Gm M$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{Gm M}{r^{2}}$ по $r$ равна $Gm M \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{r^{2}}$ в виде ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [r^{- 2}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$Gm M (- 2 r^{- 3})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$Gm M (- 2 \frac{1}{r^{3}})$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{r^{3}}$ .

$Gm M \frac{- 2}{r^{3}}$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$Gm M (- \frac{2}{r^{3}})$

Этап 4.2.3

Объединим $Gm$ и $\frac{2}{r^{3}}$ .

$M (- (\frac{2}{r^{3}} Gm))$

Этап 4.2.4

Объединим $M$ и $\frac{2}{r^{3}}$ .

$- (\frac{M \cdot 2}{r^{3}} Gm)$

Этап 4.2.5

Перенесем $2$ влево от $M$ .

$- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$ .

$- Gm \frac{2 M}{r^{3}}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $- Gm$ и $\frac{2 M}{r^{3}}$ .

$\frac{- (2 M)}{r^{3}} Gm$

Этап 4.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 M}{r^{3}} Gm$

Этап 4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$