Математический анализ Примеры

$P (r) = \frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$ по $r$ равна $5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$ .

$5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ имеет вид $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , где $f (r) = 3 r + 1$ и $g (r) = r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \frac{d}{d r} [3 r + 1] - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 r + 1$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $r$ , производная $3 r$ по $r$ равна $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $r$ , производная $1$ относительно $r$ равна $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + 0) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \cdot 3 - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Перенесем $3$ влево от $r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{3 \cdot (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $r^{2} + r + 2$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $r$ , производная $2$ относительно $r$ равна $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + 0)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $2 r + 1$ и $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 3.11.2

Объединим $5$ и $\frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$\frac{5 (3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (3 r^{2}) + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Умножим $5 (3 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 \cdot 6 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.3.2

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.5

Развернем $(- 3 r - 1) (2 r + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r + 1) - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6.1.2

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.1.2.1

Перенесем $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6.1.2.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6.2

Вычтем $2 r$ из $- 3 r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 5 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2}) + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.8.1

Умножим $- 6$ на $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.8.2

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.1.8.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Вычтем $30 r^{2}$ из $15 r^{2}$ .

$\frac{- 15 r^{2} + 15 r + 30 - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.3

Вычтем $25 r$ из $15 r$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 30 - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.4.4

Вычтем $5$ из $30$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15 r^{2} - 10 r + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 15 r^{2}$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 10 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 (r) + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.2.1.2

Запишем $- 2$ как $3$ плюс $- 5$

$\frac{5 (- 3 r^{2} + (3 - 5) r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (- 3 r^{2} + 3 r - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{5 ((- 3 r^{2} + 3 r) - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{5 (3 r (- r + 1) + 5 (- r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- r + 1$ .

$\frac{5 ((- r + 1) (3 r + 5))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

$\frac{5 (- r + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- r$ .

$\frac{5 (- (r) + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.7

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r) - 1 (- 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.9

Перепишем $- (r - 1)$ в виде $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Этап 4.11

Изменим порядок множителей в $- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{5 (r - 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$