Математический анализ Примеры

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ имеет вид $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ , где $f (s) = s^{5} + 1$ и $g (s) = e^{- s^{5}}$ .

$(s^{5} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{5}}] + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ имеет вид $f' (g (s)) g' (s)$ , где $f (s) = e^{s}$ и $g (s) = - s^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- s^{5}$ .

$(s^{5} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(s^{5} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- s^{5}$ .

$(s^{5} + 1) (e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $s$ , производная $- s^{5}$ по $s$ равна $- \frac{d}{d s} [s^{5}]$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- \frac{d}{d s} [s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- (5 s^{4})) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Этап 3.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $s^{5} + 1$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [s^{5}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (\frac{d}{d s} [s^{5}] + \frac{d}{d s} [1])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4} + \frac{d}{d s} [1])$

Этап 3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $s$ , производная $1$ относительно $s$ равна $0$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4} + 0)$

Этап 3.7

Добавим $5 s^{4}$ и $0$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(s^{5} e^{- s^{5}} + 1 e^{- s^{5}}) (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$s^{5} e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s^{4 + 5} e^{- s^{5}} \cdot - 5 + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Этап 4.3.2

Добавим $4$ и $5$ .

$s^{9} e^{- s^{5}} \cdot - 5 + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Этап 4.3.3

Перенесем $- 5$ влево от $s^{9} e^{- s^{5}}$ .

$- 5 \cdot (s^{9} e^{- s^{5}}) + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Этап 4.3.4

Умножим $e^{- s^{5}}$ на $1$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} + e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Этап 4.3.5

Перенесем $e^{- s^{5}}$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} - 5 s^{4} e^{- s^{5}} + 5 s^{4} e^{- s^{5}}$

Этап 4.3.6

Добавим $- 5 s^{4} e^{- s^{5}}$ и $5 s^{4} e^{- s^{5}}$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} + 0$

Этап 4.3.7

Добавим $- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$ и $0$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$ .

$- 5 e^{- s^{5}} s^{9}$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $- 5 e^{- s^{5}} s^{9}$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$