Математический анализ Примеры

$G (r) = \sqrt{r} + \sqrt[5]{r}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt{r} + \sqrt[5]{r}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{r}$ в виде $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d r} [\sqrt[5]{r}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{r}$ в виде $r^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{5}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} r^{\frac{1}{5} - 1}$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} r^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} r^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} r^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} r^{\frac{1 - 5}{5}}$

Этап 3.6.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} r^{\frac{- 4}{5}}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} r^{- \frac{4}{5}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} r^{- \frac{4}{5}}$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{r^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{r^{\frac{4}{5}}}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{r^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5 r^{\frac{4}{5}}}$