Математический анализ Примеры

$y = (r^{2} - 2 r) e^{r}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ имеет вид $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , где $f (r) = r^{2} - 2 r$ и $g (r) = e^{r}$ .

$(r^{2} - 2 r) \frac{d}{d r} [e^{r}] + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ имеет вид $a^{r} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $r^{2} - 2 r$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Этап 3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $r$ , производная $- 2 r$ по $r$ равна $- 2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \frac{d}{d r} [r])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) + e^{r} \cdot - 2$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $- 2$ влево от $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) - 2 \cdot e^{r}$

Этап 4.3.2

Добавим $- 2 r e^{r}$ и $e^{r} (2 r)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перенесем $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + 2 r e^{r} - 2 e^{r}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- 2 r e^{r}$ и $2 r e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} + 0 - 2 e^{r}$

Этап 4.3.3

Добавим $r^{2} e^{r}$ и $0$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$