Математический анализ Примеры

$g (r) = (8 r^{3} + 7 r + 4) (r^{2} + 3)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ имеет вид $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , где $f (r) = 8 r^{3} + 7 r + 4$ и $g (r) = r^{2} + 3$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) \frac{d}{d r} [r^{2} + 3] + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $r^{2} + 3$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $r$ , производная $3$ относительно $r$ равна $0$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + 0) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 r$ и $0$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $8 r^{3} + 7 r + 4$ .

$2 \cdot (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $8 r^{3} + 7 r + 4$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Этап 2.6

Поскольку $8$ является константой относительно $r$ , производная $8 r^{3}$ по $r$ равна $8 \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 \frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 (3 r^{2}) + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Этап 2.8

Умножим $3$ на $8$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Этап 2.9

Поскольку $7$ является константой относительно $r$ , производная $7 r$ по $r$ равна $7 \frac{d}{d r} [r]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [4])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [4])$

Этап 2.11

Умножим $7$ на $1$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + \frac{d}{d r} [4])$

Этап 2.12

Поскольку $4$ является константой относительно $r$ , производная $4$ относительно $r$ равна $0$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + 0)$

Этап 2.13

Добавим $24 r^{2} + 7$ и $0$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1