Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2 s} - \frac{7}{3 s^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2 s} - \frac{7}{3 s^{2}}$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $s$ , производная $\frac{1}{2 s}$ по $s$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{s}$ в виде $s^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $s^{- 2}$ .

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Этап 2.5

Перенесем $s^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d s} [- \frac{7}{3 s^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{7}{3}$ является константой относительно $s$ , производная $- \frac{7}{3 s^{2}}$ по $s$ равна $- \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{s^{2}}$ в виде ${(s^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ имеет вид $f' (g (s)) g' (s)$ , где $f (s) = s^{- 1}$ и $g (s) = s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $s^{2}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $s^{2}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s))$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(s^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s))$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- s^{- 4} (2 s))$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{- 4} s)$

Этап 3.7

Возведем $s$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4}))$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{1 - 4})$

Этап 3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{7}{3} (- 2 s^{- 3})$

Этап 3.10

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 2 (\frac{7}{3}) s^{- 3}$

Этап 3.11

Объединим $2$ и $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{2 \cdot 7}{3} s^{- 3}$

Этап 3.12

Умножим $2$ на $7$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{14}{3} s^{- 3}$

Этап 3.13

Объединим $\frac{14}{3}$ и $s^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{14 s^{- 3}}{3}$

Этап 3.14

Перенесем $s^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{14}{3 s^{3}}$