Математический анализ Примеры

$\frac{10000}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $10000$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{10000}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$ по $t$ равна $10000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}]$ .

$10000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{9 + 4 e^{- 0.2 t}}$ в виде ${(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 1}$ .

$10000 \frac{d}{d t} [{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = 9 + 4 e^{- 0.2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ .

$10000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$10000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ .

$10000 (- {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $10000$ .

$- 10000 ({(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + 4 e^{- 0.2 t}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $9 + 4 e^{- 0.2 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$ .

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}])$

Этап 3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}])$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$ .

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [4 e^{- 0.2 t}]$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 e^{- 0.2 t}$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}]$ .

$- 10000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (4 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $- 10000$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 0.2 t$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 0.2 t$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 0.2$ является константой относительно $t$ , производная $- 0.2 t$ по $t$ равна $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 40000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.2

Умножим $- 0.2$ на $- 40000$ .

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} (e^{- 0.2 t} \cdot 1)$

Этап 5.4

Умножим $e^{- 0.2 t}$ на $1$ .

$8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} e^{- 0.2 t}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $8000 {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2} e^{- 0.2 t}$ .

$8000 e^{- 0.2 t} {(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{- 2}$

Этап 6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8000 e^{- 0.2 t} \frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$

Этап 6.3

Умножим $8000 e^{- 0.2 t} \frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{1}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ и $8000$ .

$\frac{8000}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}} e^{- 0.2 t}$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{8000}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$ и $e^{- 0.2 t}$ .

$\frac{8000 e^{- 0.2 t}}{{(9 + 4 e^{- 0.2 t})}^{2}}$