Математический анализ Примеры

$\frac{3 t - 1}{t^{2} + 5 t}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = 3 t - 1$ и $g (t) = t^{2} + 5 t$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) \frac{d}{d t} [3 t - 1] - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + 0) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) \cdot 3 - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $3$ влево от $t^{2} + 5 t$ .

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $t^{2} + 5 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \cdot 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t + 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Развернем $(- 3 t + 1) (2 t + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t + 5) + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.4

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.5

Умножим $2 t$ на $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.1.6

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Добавим $- 15 t$ и $2 t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $6 t^{2}$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $13 t$ из $15 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 2 (t) + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Запишем $2$ как $- 3$ плюс $5$

$\frac{- 3 t^{2} + (- 3 + 5) t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 t^{2} - 3 t + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 3 t^{2} - 3 t) + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 t (- t - 1) - 5 (- t - 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- t - 1$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} + 5 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + 5 t)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $t$ из $5 t$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + t \cdot 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot 5$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t (t + 5))}^{2}}$

Этап 3.5.2

Применим правило умножения к $t (t + 5)$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$\frac{(- (t) - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (t) - 1 (1)) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{- (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $- (t + 1)$ в виде $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{- 1 (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$