Математический анализ Примеры

$\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$

Этап 1

Поскольку $500$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$ по $t$ равна $500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = 2 t^{2} + 25$ .

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $2 t^{2} + 25$ на $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $2 t^{2} + 25$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{2}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $4 t$ и $0$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5

Возведем $t$ в степень $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t^{1})}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{1 + 1}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 8

Вычтем $4 t^{2}$ из $2 t^{2}$ .

$500 \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 9

Объединим $500$ и $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 2$ на $500$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Умножим $500$ на $25$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.3

Вынесем множитель $500$ из $- 1000 t^{2} + 12500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $500$ из $- 1000 t^{2}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $500$ из $12500$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $500$ из $500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t^{2}$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.5

Перепишем $25$ в виде $- 1 (- 25)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t^{2}) - 1 (- 25)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.7

Перепишем $- (2 t^{2} - 25)$ в виде $- 1 (2 t^{2} - 25)$ .

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 10.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$