Математический анализ Примеры

$\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}$ в виде ${(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{2} + 5 t - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2} + 5 t - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} + 5 t - 9$ .

$6 (- {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 ({(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $t^{2} + 5 t - 9$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

Этап 3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 9])$

Этап 3.7

Поскольку $- 9$ является константой относительно $t$ , производная $- 9$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + 0)$

Этап 3.8

Добавим $2 t + 5$ и $0$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$ .

$- (2 t + 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 t) - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$(- 2 t - 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим $- 2 t - 5$ на $\frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 t - 5) \cdot 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.8

Перенесем $6$ влево от $- 2 t - 5$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t$ .

$\frac{6 (- (2 t) - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.10

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (2 t) - 1 (5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t) - 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.12

Перепишем $- (2 t + 5)$ в виде $- 1 (2 t + 5)$ .

$\frac{6 (- 1 (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Этап 4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$