Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = 1 - \cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \cos (t)$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 5

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 6

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $\cos (t)$ на $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- \cos (t) \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.1.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.5

Переставляем члены.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $\cos (t) - 1$ и ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (t)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.3.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.3.1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.3.1.5

Вынесем множитель $1 - \cos (t)$ из $- 1 (1 - \cos (t))$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Этап 9.3.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.6.1

Вынесем множитель $1 - \cos (t)$ из ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Этап 9.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Этап 9.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

Этап 9.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$