Математический анализ Примеры

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = {(1 + 5 t)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(1 + 5 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(1 + 5 t)}^{2}$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + 5 t$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + 5 t$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + 5 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 t]))$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (0 + \frac{d}{d t} [5 t]))$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [5 t])$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (5 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 3.5

Умножим $5$ на $2$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t) \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $10$ на $1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 \cdot 1 + 10 (5 t))$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $10$ на $1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 + 10 (5 t))$

Этап 4.2.2

Умножим $5$ на $10$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 + 50 t)$