Математический анализ Примеры

$\frac{t^{2} + 1}{t^{4} - 3 t^{2} + 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2} + 1$ и $g (t) = t^{4} - 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3 t^{2}$ по $t$ равна $- 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + 0)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2.11

Добавим $4 t^{3} - 6 t$ и $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 \cdot 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $t^{4}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2

Умножим $t$ на $t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{3}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6

Развернем $(- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3} - 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1.2.1

Перенесем $t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{2} t - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.5

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1.5.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t \cdot t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.5.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1.5.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t^{1} t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{1 + 2} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.1.8

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.1.7.2

Вычтем $4 t^{3}$ из $6 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вычтем $4 t^{5}$ из $2 t^{5}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Добавим $- 6 t^{3}$ и $2 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 8 t + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Добавим $8 t$ и $6 t$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2 t$ из $- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2 t$ из $- 2 t^{5}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2 t$ из $- 4 t^{3}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $2 t$ из $14 t$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.5.4

Вынесем множитель $2 t$ из $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.5.5

Вынесем множитель $2 t$ из $2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- t^{4}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - (2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{4}) - (2 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.11

Перепишем $- (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ в виде $- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ .

$\frac{2 t (- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 3.13

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 t (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$