Математический анализ Примеры

$\frac{t^{2}}{2 t^{3} + 27}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 2 t^{3} + 27$ .

$\frac{(2 t^{3} + 27) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 t^{3} + 27) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $2 t^{3} + 27$ .

$\frac{2 \cdot (2 t^{3} + 27) t - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $2 t^{3} + 27$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{3}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2} + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $27$ является константой относительно $t$ , производная $27$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2} + 0)}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $6 t^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2})}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{2} t^{2}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 3

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 (t^{2} t^{2})}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{2 + 2}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (2 t^{3}) + 2 \cdot 27) t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 t^{3}) t + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $t^{3}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t^{3})) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4.3.1.1.2

Умножим $t$ на $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 (t^{1} t^{3})) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 t^{1 + 3}) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4.3.1.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{2 (2 t^{4}) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 t^{4} + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{4 t^{4} + 54 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Вычтем $6 t^{4}$ из $4 t^{4}$ .

$\frac{- 2 t^{4} + 54 t}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$