Математический анализ Примеры

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

Этап 1

По правилу суммы производная ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{4}$ и $g (t) = 8 t - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $8 t - 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $8 t - 7$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $8 t - 7$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.3

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $8 t$ по $t$ равна $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7$ относительно $t$ равна $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.6

Умножим $8$ на $1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.7

Добавим $8$ и $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 2.8

Умножим $8$ на $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $8 t + 7$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

Этап 3.3

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $8 t$ по $t$ равна $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

Этап 3.5

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7$ относительно $t$ равна $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

Этап 3.6

Умножим $8$ на $1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

Этап 3.7

Добавим $8$ и $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

Этап 3.8

Умножим $8$ на $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $32$ из $32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $32$ из $32 {(8 t - 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $32$ из $32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $32$ из $32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило умножения к $8 t$ .

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.3

Применим правило умножения к $8 t$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.5

Умножим $64$ на $3$ .

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.6

Умножим $- 7$ на $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.7

Умножим $8$ на $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.8

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.9

Умножим $49$ на $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.2.10

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

Этап 4.2.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Применим правило умножения к $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Этап 4.2.4.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Этап 4.2.4.3

Применим правило умножения к $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Этап 4.2.4.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Этап 4.2.4.5

Умножим $64$ на $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Этап 4.2.4.6

Умножим $7$ на $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Этап 4.2.4.7

Умножим $8$ на $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Этап 4.2.4.8

Возведем $7$ в степень $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

Этап 4.2.4.9

Умножим $49$ на $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

Этап 4.2.4.10

Возведем $7$ в степень $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

Этап 4.3

Объединим противоположные члены в $512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $- 1344 t^{2}$ и $1344 t^{2}$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

Этап 4.3.2

Добавим $512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ и $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

Этап 4.3.3

Добавим $- 343$ и $343$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

Этап 4.3.4

Добавим $512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ и $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

Этап 4.4

Добавим $512 t^{3}$ и $512 t^{3}$ .

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

Этап 4.5

Добавим $1176 t$ и $1176 t$ .

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

Этап 4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

Этап 4.7

Умножим $1024$ на $32$ .

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

Этап 4.8

Умножим $2352$ на $32$ .

$32768 t^{3} + 75264 t$