Математический анализ Примеры

$\frac{- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t}{{(1 - t)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = - 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ и $g (t) = {(1 - t)}^{2}$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{({(1 - t)}^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - t)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t^{3}$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.6

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t^{2}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4 t$ по $t$ равна $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4 \frac{d}{d t} [t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4 \cdot 1) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 2.11

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 1 - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - t$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (2 u \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - t$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (2 (1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $1 - t$ из ${(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $1 - t$ из ${(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4)$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $1 - t$ из $- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) + (1 - t) (- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $1 - t$ из $(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) + (1 - t) (- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{{(1 - t)}^{4}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $1 - t$ из ${(1 - t)}^{4}$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{(1 - t) {(1 - t)}^{3}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{(1 - t) {(1 - t)}^{3}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $1 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 7

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [- t]}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 10

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \cdot 1}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 12

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Развернем $(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{1 (- 6 t^{2}) + 1 (10 t) + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Умножим $- 6 t^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 1 (10 t) + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.2

Умножим $10 t$ на $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t \cdot t^{2} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.5

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.5.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 (t^{2} t) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.5.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.5.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 (t^{2} t^{1}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t^{2 + 1} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t^{3} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 t \cdot t - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.8

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.8.1

Перенесем $t$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 (t \cdot t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.8.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 t^{2} - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.9

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 10 t^{2} - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.2.10

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 10 t^{2} + 4 t + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.3

Вычтем $10 t^{2}$ из $- 6 t^{2}$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} + 4 t + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.4

Добавим $10 t$ и $4 t$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.6

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 10 t^{2} + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.1.7

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 10 t^{2} - 8 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.2

Добавим $- 16 t^{2}$ и $10 t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 8 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.3

Вычтем $8 t$ из $14 t$ .

$\frac{- 6 t^{2} - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.2.4

Вычтем $4 t^{3}$ из $6 t^{3}$ .

$\frac{- 6 t^{2} - 4 + 2 t^{3} + 6 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2 t^{3} - 6 t^{2} + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 13.4

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{3} - 6 t^{2} + 6 t - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{3}$ .

$\frac{2 (t^{3}) - 6 t^{2} + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 13.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 t^{2}$ .

$\frac{2 (t^{3}) + 2 (- 3 t^{2}) + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 13.4.3

Вынесем множитель $2$ из $6 t$ .

$\frac{2 (t^{3}) + 2 (- 3 t^{2}) + 2 (3 t) - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 13.4.4

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 (3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 13.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{3} + 2 (- 3 t^{2})$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2}) + 2 (3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 13.4.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (t^{3} - 3 t^{2}) + 2 (3 t)$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Этап 13.4.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$