Математический анализ Примеры

${(20 \cos (100 t))}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $20$ из $20 \cos (100 t)$ .

$\frac{d}{d t} [{(20 (\cos (100 t)))}^{2}]$

Этап 1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило умножения к $20 (\cos (100 t))$ .

$\frac{d}{d t} [20^{2} \cos^{2} (100 t)]$

Этап 1.2.2

Возведем $20$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d t} [400 \cos^{2} (100 t)]$

Этап 1.3

Поскольку $400$ является константой относительно $t$ , производная $400 \cos^{2} (100 t)$ по $t$ равна $400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$ .

$400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \cos (100 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (100 t)$ .

$400 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$400 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (100 t)$ .

$400 (2 \cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Этап 3

Умножим $2$ на $400$ .

$800 (\cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $100 t$ .

$800 \cos (100 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [100 t])$

Этап 4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$800 \cos (100 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [100 t])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $100 t$ .

$800 \cos (100 t) (- \sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $800$ .

$- 800 \cos (100 t) (\sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

Этап 5.2

Поскольку $100$ является константой относительно $t$ , производная $100 t$ по $t$ равна $100 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 800 \cos (100 t) \sin (100 t) (100 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5.3

Умножим $100$ на $- 800$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \cdot 1$

Этап 5.5

Умножим $- 80000$ на $1$ .

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t)$