Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{a + b t}}{t}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a + b t}$ в виде ${(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{t}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = t$ .

$\frac{t \frac{d}{d t} [{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = a + b t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a + b t$ .

$\frac{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $a + b t$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t (\frac{{(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $a + b t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 10

Поскольку $a$ является константой относительно $t$ , производная $a$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [b t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 12

Поскольку $b$ является константой относительно $t$ , производная $b t$ по $t$ равна $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (b \frac{d}{d t} [t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 13

Объединим $b$ и $\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 15

Умножим $\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 16

Умножим $\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$ на $\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Этап 17

Объединим.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 18

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 19

Сократим общий множитель $2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 19.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b t + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 20

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} ({(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 22

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 22.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 23

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 23.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{1} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 24

Упростим.

$\frac{b t - 2 (a + b t) \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 25

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{b t - 2 (a + b t) \cdot 1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 26

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{b t - 2 (a + b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 27

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b t - 2 a - 2 (b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 27.2

Вычтем $2 b t$ из $b t$ .

$\frac{- 2 a - b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Этап 27.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 a - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 a$ .

$\frac{- (2 a) - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- b t$ .

$\frac{- (2 a) - (b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 a) - (b t)$ .

$\frac{- (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27.7

Перепишем $- (2 a + b t)$ в виде $- 1 (2 a + b t)$ .

$\frac{- 1 (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 a + b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$