Математический анализ Примеры

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1}{4} t^{2}$ по $t$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{2}{4}$ и $t$ .

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t$ .

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \ln (t + 1)$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $\frac{1}{t + 1}$ на $1$ .

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $\frac{t}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

Этап 4.2

Чтобы записать $- \frac{1}{t + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (t + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{t}{2}$ на $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{1}{t + 1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

Этап 4.3.3

Изменим порядок множителей в $(t + 1) \cdot 2$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$