Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2} \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 3}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1}{2} \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 3}$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(6 t^{2} + t)}^{- 3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(6 t^{2} + t)}^{- 3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 3}$ и $g (t) = 6 t^{2} + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 t^{2} + t$ .

$\frac{1}{2} (- 3 {(6 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} ({(6 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ и $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{{(6 t^{2} + t)}^{- 4} \cdot - 3}{2} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

Этап 3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $- 3$ влево от ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 4}}{2} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

Этап 3.2.2.2

Перенесем ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $6 t^{2} + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t^{2}$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (6 (2 t) + \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + 1)$

Этап 3.8

Изменим порядок множителей в $- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + 1)$ .

$- (12 t + 1) \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}}$