Математический анализ Примеры

$(1 + \sqrt{t}) (2 t^{2} - 3)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 t^{2} - 3)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = 2 t^{2} - 3$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 3] + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 t^{2} - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{2}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + 0) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $4 t$ и $0$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.6.2

Перенесем $4$ влево от $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cdot (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $1 + t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 \cdot 1 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $4$ на $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$4 t + 4 (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 t + 4 t^{1 + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$4 t + 4 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 t + 4 t^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.6

Добавим $2$ и $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{2} \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.8

Объединим $t^{2}$ и $\frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{t^{2} \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.9

Перенесем $2$ влево от $t^{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.10

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.11

Умножим $t^{2}$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.11.1

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{2})}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.11.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.11.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.11.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.11.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.11.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.12

Сократим общий множитель.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.13

Разделим $t^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.14

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.4.16

Добавим $4 t^{\frac{3}{2}}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$4 t + 5 t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$