Математический анализ Примеры

${(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = \frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} (5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}])$

Этап 2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 \cdot (3 t^{2} + 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $3 t^{2} + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4.7

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Добавим $6 t$ и $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4.8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{2} t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 5

Возведем $t$ в степень $1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 (t^{1} t^{2})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{1 + 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 8

Объединим $\frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ и $15$ .

$\frac{(2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}) \cdot 15}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

Этап 9

Перенесем $15$ влево от $2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}$ .

$\frac{15 \cdot (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило умножения к $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(5 t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $5 t^{2}$ .

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 ((2 (3 t^{2}) + 2 \cdot 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t + 2 \cdot 2 t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{15 (6 t^{2} t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{15 (6 (t^{1} t^{2})) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 (6 t^{1 + 2}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{15 (6 t^{3}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.5

Умножим $6$ на $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (4 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.7

Умножим $4$ на $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.8

Умножим $- 6$ на $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t - 90 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.9

Вычтем $90 t^{3}$ из $90 t^{3}$ .

$\frac{60 t + 0}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.10

Добавим $60 t$ и $0$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.11

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.12

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.12.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{2 \cdot 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.13

Умножим $\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ на $\frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{60 t (25 t^{4})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.14

Умножим $25$ на $60$ .

$\frac{1500 t \cdot t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.15

Умножим $t$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.15.1

Перенесем $t^{4}$ .

$\frac{1500 (t^{4} t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.15.2

Умножим $t^{4}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.15.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{1500 (t^{4} t^{1})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1500 t^{4 + 1}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.15.3

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 10.6.16

Умножим ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ на ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.16.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2 + 2}}$

Этап 10.6.16.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{4}}$